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Eカードの確率について
2009年 12月 05日 *
Eカードとは、漫画「カイジ」に出てくるカードゲームのことである。
ただし、漫画に出てくる確率の説明は微妙に違っているような気がする。
自分が考えていることを書いてみた。


Eカードのルール

2人のプレーヤーが皇帝側と奴隷側に分かれ、手持ちのカードでゲームを行う。
皇帝側のカードは皇帝1枚市民4枚。
奴隷側のカードは奴隷1枚市民4枚。
1回のゲームで互いが手持ちのカードを1枚ずつ出し合い、カードの力関係で勝敗を決める。
1回目のゲームで皇帝側と奴隷側双方が市民を出した場合は引き分けとなり、2回目のゲームを行う。
2回目のゲームでも双方市民を出した場合は引き分けとなり、3回目のゲームを行う。
4回目まで引き分けだった場合は5回目のゲームが行われるが、カードの枚数の制約上、ゲームは5回目が最後となる。
カードの力関係は以下の通り。
皇帝は市民より強い。
市民は奴隷より強い。
奴隷は皇帝より強い。

何回目のゲームであろうと、皇帝側が皇帝のカードを出し、奴隷側が市民のカードを出した場合は、そこで皇帝側の勝利が確定する。
なぜなら以後のゲームを続けても、市民と市民、市民と奴隷のカードの組み合わせしか出ないので、奴隷側は必ず負けてしまうからである。
同様に何回目のゲームであろうと、奴隷側が奴隷のカードを出し、皇帝側が市民のカードを出した場合は、そこで奴隷側の敗北が確定する。
つまり、皇帝側は皇帝のカードをいかに通すか。
奴隷側は奴隷のカードをいかに通すかが勝敗を決める。


全勝敗表(皇帝側の出すカード、奴隷側の出すカード)

(皇帝、市民)→皇帝の勝ち
(皇帝、奴隷)→奴隷の勝ち
(市民、奴隷)→皇帝の勝ち
(市民、市民)→引き分け


Q1.皇帝と奴隷の勝つ確率はそれぞれ何%?

皇帝80%
奴隷20%

Q2.漫画に皇帝側が皇帝を出してゲームに勝利する確率は1回目が80%、2回目が75%、3回目が66%、4回目が50%と描いてあった。
では、1回目に皇帝を出すのが一番有利では?

まず、皇帝のカードはいつ出してもいい。言い換えればゲームを始める前の時点では何回目に出すかは決まっていない。
「2回目に皇帝を出してゲームに勝つ~」と言った時点で「1回目が引き分けだった」という条件が追加されることになる。
また「皇帝のカードを2回目に出す」という条件が追加されていることになる。
上記のような条件付き確率を求めるなら漫画に描かれている計算で正しいが、ゲーム開始前はその条件が不確定な状態であるから、漫画にあるような条件付き確率を求めることに実質的な意味はない。

Q3.皇帝と奴隷の勝つ確率の各ゲームごとの内訳は?

N回目 (皇帝側、奴隷側)
1回目 (8/25、1/25)
2回目 (6/25、1/25)
3回目 (4/25、1/25)
4回目 (2/25、1/25)
5回目 (0/25、1/25)
----------------------
計   (20/25、5/25)

Q4.やっぱり最初に皇帝のカードを出した方が有利では?

確かに、1回目~5回目の中で皇帝側の勝つ確率は1回目が一番高く、回数を重ねるごとに徐々に低くなっていく。
これは、皇帝と奴隷はお互いに皇帝のカードと奴隷のカードはいつ出すか(ゲーム開始前に出そうと決めているか)は確率的に等価だが、ゲームの勝敗は皇帝か奴隷のカードが出された時点で確定してしまうためである。
言い換えれば、皇帝側は皇帝のカードを出さなくても奴隷側が勝手に奴隷のカードを出して自滅してくれれば勝利できるため、ゲームの早期に決着がつく可能性が最も高い。
このEカードでは2回目までに決着がつく確率は64%であり、50%を超える。
ただし、何回目に皇帝(奴隷)のカードを出そう(と決めていよう)が、勝つ確率には影響しない。
皇帝側の勝つ確率は80%、奴隷側の勝つ確率は20%である。

Q5.皇帝側のカードは皇帝と市民の2種類しかないのだから、1回目~4回目に皇帝と市民のカードを出す確率はそれぞれ50%では?

同じカードが何回も使用できるなら1回目のカードの出し方が2回目以降のゲームに影響を与えないので独立事象としてもいいが、Eカードでは一度きってしまったカードは2度使えないので、独立事象とはならない。
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by nochoice1 | 2009-12-05 11:05 | Comments(2) *
Commented by a at 2009-12-16 08:44 x
勝つ確率なんてないだろ
心を読み合うゲームなんだから
利根川に言わせれば「理より先に踏み込んできていない」
Commented by nochoice1 at 2009-12-17 00:21
確率はあります。相手がどのカードを出すかわからない時点で。
だから掛け金に対するリターンが算出できるのですが。
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The Original by Sun&Moon