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2005年 06月 27日 *
一人でいる事は、どうしてこんなに悲しいんだろう。
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2005年 06月 22日 *
前回も書きましたが、
1/2+1/4+1/8+1/16+…
のように、前の項に1/2をかけ算した結果を無限に加えていくと、1になります。
それをグラフにしたものが下図になります。
1/2から徐々に数を加えていった結果が1に近づいていくのがお分かり頂けると思います。



ここで注意して頂きたいのは、
1/2+1/4+1/8+1/16+…
のように数を加えていくと1に近づきますが、決して1にはならないという点です。
グラフの折れ線の右の方では1に接しているように見えますが、赤枠で囲った部分を拡大した下図をご覧下さい。
1に近づいてはいるものの、1に接してはいない事がお分かり頂けると思います。



今回のグラフでは数の足し算を20回しか繰り返していないのでx軸(横軸)の目盛は20までしかありませんが、10万回、100万回と計算したとしても、どこまでいっても折れ線が1に重なる事はありません。
より1に近づく事が言えるだけなのです。
(もしx軸に無限というポイントを示す事が出来たとするなら、その時の折れ線は1に接しているでしょう。)
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2005年 06月 20日 *
アキレスの言っている事を永遠に繰り返し得るとしたら、確かにアキレスは亀に永遠に追いつく事は出来ません。
しかし、そんな事を永遠に繰り返す事が可能なのでしょうか。
例えば1分間という有限な時間を無限に細分化する事が出来たとしたら、アキレスの主張する事は実際に起こり得たでしょうが、現実に1分間という時間は1分後に過去へと過ぎ去っていきます。
無限というのはあくまで概念であって、現実には存在し得ないのです。

但し、数学の世界では無限を扱う事があります。
無限は数字ではないので計算出来ませんが、∞という記号で表します。

例えば、
1/2+1/4+1/8+1/16+…
のように、1/2の二乗した数を永遠に足していったとします。
もちろん無限に数を加えていくなんて事は、現実に不可能なのですが、もしそれが可能だったとしたら、答はいくつになるでしょう。
答は1になります。
等比数列の和の公式(数学の教科書に載ってます)より、n番目までの和は、1-(1/2)^nで表す事が出来、(1/2)^nはn→∞とするとゼロになるので、1-(1/2)^nは1になります。
(「^」は階乗を表す記号で、例えば、2の2乗は2^2=4と表す事が出来ます。)

ついでに次の例です。
0.999999999…のように、もし9が無限に続く数があったとしたら、それは1になります。
0.999999999…をxとすると、

10x=9.999999999…
x=0.999999999…

上の式から下の式を引き算し、
9x=9
x=1

よって、
1=0.999999999…
が成立します。

しかしくどいかもしれませんが、現実には無限は存在しません。
もし存在したらおかしな事になってしまいます。
例えば、A地点からB地点まで1個のボールを運ぶのに、1/2分かかるとします。
2個目のボールを運ぶのは、前回にボールを運ぶのに費やした時間の半分で済むとすると1/4分かかります。
同様にしてボールを運んでいくと、1分後には無限個のボールを運べてしまう事になるのですが、現実には無限個のボールは存在しません。


以上の事から、アキレスの主張するような、無限に時間を細分化する事は現実には不可能です。
またそれが仮に出来たとしても、例えば、1/2+1/4+1/8+1/16+…=1のようにある値に収束する事があり、その答がアキレスが亀に追いつく時間となるのです。
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2005年 06月 20日 *
少々話が逸れるかもしれませんが、ゼノンのパラドックスについて書きます。
ゼノンのパラドックスには何種類かあるのですが、その中の一つに、『アキレスと亀』があります。

アキレスと亀は競争をするのですが、亀の走るスピードは明らかに遅いので、ハンデをもらい、アキレスより前からスタートする事になりました。
それでも走るスピードは亀よりアキレスの方が速いので、いつかは追いつかれてしまうでしょう。
しかしアキレスはこう主張しました。
私が亀がスタートした位置まで走ったとしても、その間に亀は私より前に進んでいる。
次に私が亀のいる位置まで走ったとしても、その間に亀は私より前に進んでいる。
同様にこれを繰り返すと、いつまで経っても私は亀に追いつく事が出来ない。

アキレスの主張が正しいとすると、いくら自分の走るスピードが速かったとしても相手に追いつく事は出来ません。
現実にはこんな事は起こり得ないので、アキレスの主張は間違っているように見えるのですが、その矛盾を指摘するのは簡単ではありません。
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2005年 06月 15日 *
仕事をする事が求められる誰かを必死で演じる事となり、本来の自分との乖離が生じる。
本当の自分はないと言えばそれまでだが、自分が自覚する自分は存在する。
仕事だから自分を捨てようと割り切ると、それが徐々にエスカレートしていき、やがてどこにも自分がいなくなる。
空虚。

人に迷惑をかけたくない。
誰にも知られず語らずひっそりと生きていたい。
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2005年 06月 15日 *
目標を完遂するには大変な努力がいるし、物事を完璧にこなす事は極めて難しい。
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2005年 06月 15日 *
ある人が25歳で就職して55歳まで働くとすると、その間30年かかります。
今、その人が50万円持っていて、毎年50万円ずつ貯金したとすると、1年後には総貯蓄額は100万円、2年後には150万円となります。
30年後には1550万円になります。

また、最初に持っていた50万円を、複利で年間8%の利息がつく金融商品に預けたとすると、30年後には約500万円となります。

年後  貯金   利率   複利(8%)
0    500    1.00    500
1   1,000    1.08    540
2   1,500    1.17    583
3   2,000    1.26    630
4   2,500    1.36    680
5   3,000    1.47    735
6   3,500    1.59    793
7   4,000    1.71    857
8   4,500    1.85    925
9   5,000    2.00    1,000
10   5,500    2.16    1,079
11   6,000    2.33    1,166
12   6,500    2.52    1,259
13   7,000    2.72    1,360
14   7,500    2.94    1,469
15   8,000    3.17    1,586
16   8,500    3.43    1,713
17   9,000    3.70    1,850
18   9,500    4.00    1,998
19   10,000    4.32    2,158
20   10,500    4.66    2,330
21   11,000    5.03    2,517
22   11,500    5.44    2,718
23   12,000    5.87    2,936
24   12,500    6.34    3,171
25   13,000    6.85    3,424
26   13,500    7.40    3,698
27   14,000    7.99    3,994
28   14,500    8.63    4,314
29   15,000    9.32    4,659
30   15,500    10.06    5,031

また、最初の1年は50万円の貯金をし、残りの29年は複利8%の金融商品に預けたとすると、30年後には約930万円となります。
同様にして、最初の何年かを50万円ずつ貯金し、その後貯金するのをやめて、残りの年数を複利8%の金融商品に預けるとすると、何年後に複利に切り替えるのが一番得でしょうか。

年後  貯金   複利に乗り換え
1   1,000    5,031
2   1,500    9,317
3   2,000    12,941
4   2,500    15,976
5   3,000    18,491
6   3,500    20,545
7   4,000    22,194
8   4,500    23,486
9   5,000    24,464
10   5,500    25,169
11   6,000    25,635
12   6,500    25,894
13   7,000    25,974 ☆
14   7,500    25,900
15   8,000    25,695
16   8,500    25,377
17   9,000    24,966
18   9,500    24,477
19   10,000    23,923
20   10,500    23,316
21   11,000    22,669
22   11,500    21,989
23   12,000    21,286
24   12,500    20,566
25   13,000    19,836
26   13,500    19,101
27   14,000    18,367
28   14,500    17,636
29   15,000    16,913
30   15,500    16,200

13年後に貯金をやめて複利に切り替えるのが一番お得です。

これをグラフにしたものが下図になります。



上の赤線は30年後に得られるお金の最大値であり、下の赤線は30年貯金した金額と約4年後に8%複利に切り替えた場合に得られる金額が同額である事を示しています。

また、色々試してみるとわかるのですが、複利の利率が8%よりも高ければ、13年後より早く複利に切り替えた方が得となります。

グラフから分かるように、複利は年数が経つと効果を発揮します。
そのため、複利に預けるならなるべく早くから始めた方がいいのです。
しかし、いくら早くといっても預ける金額が余りに少額ですと後で貰える金額も少なくなってしまいます。

また、今回は何年か後に定額による貯金をやめて複利に預けるシミュレーションを行いましたが、貯金をやめずに複利と同時並行して続けた方が最終的にお得になるのは言うまでもない事を付け加えておきます。

さてここまで来ると、次のような疑問が浮かぶと思います。
そもそも、複利8%のような金融商品など存在するのか?

その答はもう少し後で書くことにします。
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2005年 06月 13日 *
年間5%の利息がつく金融商品があり、100万円を預けるとすると、単利と複利のどちらが得でしょう。

単利は1年経つごとに105万、110万、115万……と増えていきます。
10年後には預けた100万円は150万円になります。

複利は1年後に1.05倍、2年後には1.05×1.05=1.1025倍に、
3年後には1.1025の1.05倍なので、1.1025×1.05=1.157625倍となります。

比較表は以下の通りです。
年数の最初の方は違いは僅かですが、30年後を見ると、単利の場合は預けた100万円が250万円になるのに対し、複利の場合は約432万円になります。
よって、複利の方がお得なのがお分かり頂けると思います。

年後  単利  複利
1  1.05   1.05
2  1.10   1.10
3  1.15   1.16
4  1.20   1.22
5  1.25   1.28
6  1.30   1.34
7  1.35   1.41
8  1.40   1.48
9  1.45   1.55
10  1.50   1.63
11  1.55   1.71
12  1.60   1.80
13  1.65   1.89
14  1.70   1.98
15  1.75   2.08
16  1.80   2.18
17  1.85   2.29
18  1.90   2.41
19  1.95   2.53
20  2.00   2.65
21  2.05   2.79
22  2.10   2.93
23  2.15   3.07
24  2.20   3.23
25  2.25   3.39
26  2.30   3.56
27  2.35   3.73
28  2.40   3.92
29  2.45   4.12
30  2.50   4.32
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2005年 06月 13日 *
少し話題を変えて、お金の事について書こうと思います。

お金は数字なので、ある程度、算数や数学の知識が必要となります。
といっても、そんなに難しい知識が必要な訳ではありませんし、数字が沢山出てくるからと毛嫌いせず、ご一読頂ければ幸いです。

はじめに必要となる知識

■四則演算
足し算、引き算、かけ算、割り算の事です。

1+2=3(足し算)
6-2=4(引き算)
2×4=8(かけ算)
6÷3=2(割り算)

■パーセント
百分率の事です。

0.1は100倍して10%となります。
0.1×100=10%

0.01は同じく100倍して1%となります。
0.01×100=1%

逆に、50%は100で割り算して0.5となります。
50%÷100=0.5

身近な例として、消費税があります。
税抜価格100円のガムは税込みで105円になります。
現在の消費税は5%なので、100円に5%をかければ消費税が求められます。
100円×5%=100×0.05=5円
従って商品の総額は、税抜き価格に消費税を加えた
100円+5円=105円
となります。

また、税抜き価格に消費税を加えた商品の総額を一度に求めたい場合には、税抜き価格に(100%+5%=)105%をかけます。
100円×105%=100×1.05=105円

■確率
確からしさ、あるいは物事の公算の事です。

例1:
コインを投げた場合、表が上になる確率と裏が上になる確率は、それぞれ1/2となります。
1/2は0.5の事ですから、50%の確率で表が上になり、また、50%の確率で裏が上となります。
可能性は半々ですね。

問題1:
サイコロを1回投げて1の目が出る確率は?
答:
サイコロは1から6の目まであり、1の目が出る確率は1/6です。
同様にして、サイコロを1回投げて2の目が出る確率も1/6です。

問題2:
サイコロを1回投げて3の目か4の目が出る確率は?
答:
3の目か4の目が出ればいいのですから、求める確率は2/6です。
2/6=1/3で、約33.3%と同じです。

問題3:
サイコロを1回投げて1~6の目が出る確率は?
答:
サイコロの目は1~6までですから、求める確率は、100%です。

このように、ある事象が起こる確率を求めたい場合、
(ある事象が起こる場合の数)を(全ての事象が起こる場合の数)で割り算すれば、求める事が出来ます。
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2005年 06月 11日 *
書きたい事が多すぎて一日では書ききれない。
少しずつ分けて書いていこう。

今週はあっという間に過ぎた。
もはや曜日を実感出来る感覚は残されていないが、今日は金曜日という事らしい。

自分は何がしたいのか

それを考える事が、自分を知る上で重要だと思う。

正しい答なんてない、あるのはその時代や環境によって作り出された、正しいとされる答があるだけだ。
自分なんてない、あるのは人との繋がりによって定義された自分だけだ。

そう考えていた僕は、皮肉にも自分探しをしなければならなくなった。

自分なんてない、本当に?
自分は自分であり、他人(例えばあなた)ではない。
だから自分は確かに存在する。

自分を探さなければならない。
今の状況がつらいから。
自分に合った生き方が見つかれば、今より人生がよくなるに違いない。

平穏無事な生活を望んでいた。
誰も死なず、争いもなく、平和に暮らしたいと。
そう思っていた。
思っていただけだった。

この世から争いがなくなりますように。平和になりますように。
そんな言葉が至る所に飾られている。

その行為は時として、現実逃避のようにも見える。
口当たりのいいその場しのぎの台詞。
祈っただけでは何も変わらないのに。

平和を望む。
いや、誰だって望んでる。
だが現実に不条理な事ばかりが起こるのであり、その状況から抜け出すために自分は何をするか。

平和を望むだけの平和主義では、無関心でいる事と変わりない。
現実を直視しなければ解決方法は見出せない。
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The Original by Sun&Moon